圓周長(cháng)公式

　　創(chuàng )立者：祖沖之(所以國際上也稱(chēng)“祖率”)

　　提出時(shí)間：南北朝

　　意義：精確計算圓周長(cháng)、圓面積、球體積等幾何形狀的關(guān)鍵值。也可應用于工程師或物理學(xué)家要進(jìn)行較精密的計算

　　公式：

　歐拉公式(Euler’s Identity)

　　創(chuàng )立者：萊昂哈德·歐拉

　　提出時(shí)間：1752年

　　歐拉公式也被稱(chēng)為世界上最完美的公式，在數學(xué)歷史上有很多公式都是歐拉發(fā)現的，它們都叫做歐拉公式，它們分散在各個(gè)數學(xué)分支之中。如：分式里的、復變函數論里的、三角形中的、拓撲學(xué)里的、初等數論里的歐拉公式等等。以下舉例：

　　(1)分式里的歐拉公式：

　　a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)

　　當r=0,1時(shí)式子的值為0 當r=2時(shí)值為1

　　當r=3時(shí)值為a+b+c

　　(2)復變函數論里的歐拉公式：

　　e^ix=cosx+isinx，e是自然對數的底，i是虛數單位。它將三角函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關(guān)系，它在復變函數論里占有非常重要的地位.

　　將公式里的x換成-x，得到：

　　e^-ix=cosx-isinx，然后采用兩式相加減的方法得到：

　　sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個(gè)也叫做歐拉公式。將e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：

　　e^i∏+1=0. 這個(gè)恒等式也叫做歐拉公式，它是數學(xué)里最令人著(zhù)迷的一個(gè)公式，它將數學(xué)里最重要的幾個(gè)數學(xué)聯(lián)系到了一起：兩個(gè)超數：自然對數的底e，圓周率∏，兩個(gè)單位：虛數單位i和自然數的單位1，以及數學(xué)里常見(jiàn)的0。數學(xué)家們評價(jià)它是“上帝創(chuàng )造的公式”，我們只能看它而不能理解它。

　　(3)三角形中的歐拉公式：

　　設r為三角形外接圓半徑，r為內切圓半徑，d為外心到內心的距離，則： d^2=r^2-2rr

　　(4)拓撲學(xué)里的歐拉公式：

　　v+f-e=x(p)，v是多面體p的頂點(diǎn)個(gè)數，f是多面體p的面數，e是多面體p的棱的條數,x(p)是多面體p的歐拉示性數。

　　如果p可以同胚于一個(gè)球面(可以通俗地理解為能吹脹而繃在一個(gè)球面上)，那么x(p)=2，如果p同胚于一個(gè)接有h個(gè)環(huán)柄的球面，那么x(p)=2-2h。

　　x(p)叫做p的歐拉示性數，是拓撲不變量，就是無(wú)論再怎么經(jīng)過(guò)拓撲變形也不會(huì )改變的量，是拓撲學(xué)研究的范圍。

　　在多面體中的運用:

　　簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數v、面數f及棱數e間有關(guān)系

　　v+f-e=2

　　這個(gè)公式叫歐拉公式。公式描述了簡(jiǎn)單多面體頂點(diǎn)數、面數、棱數特有的規律。

　　(5)初等數論里的歐拉公式：

　　歐拉φ函數：φ(n)是所有小于n的正整數里，和n互素的整數的個(gè)數。n是一個(gè)正整數。

　　歐拉證明了下面這個(gè)式子：

　　如果n的標準素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中眾pj(j=1,2,……,m)都是素數，而且兩兩不等。則有

　　φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)

　　利用容斥原理可以證明它。

　　此外，還有很多著(zhù)名公式都以歐拉命名哦，它不僅是世界上最偉大十大公式之一，也是數學(xué)里最令人著(zhù)迷的公式之一，也是最美的，因為這個(gè)公式的精簡(jiǎn)。它沒(méi)有多余的字符，卻聯(lián)系著(zhù)幾乎所有的數學(xué)知識?！　?